By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

1) có \(2y\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{xy}+\frac{1}{4\sqrt{xy}}\right)^2+\frac{15}{16xy}+\frac{1}{2}\ge\frac{15}{16}\cdot4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)

\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=4+2+5=11\)

Dấu =  xảy ra khi x =y = 1/2

chứng minh sao lại ra được điều này bạn?

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\)

cho bài cm hình đi

vd như Cho hình bình hành ABCD. trên các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

Chả biết đề có đúng không nữa nhưng mà nếu thử x = 0 ; y = -1 thì VT = 1,5 > 1 :)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b\right)\).Từ gt\(\Rightarrow\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{xy}=4\Rightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=4\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3\)

Mà \(ab+a+b=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+ab+2\sqrt{ab}\ge ab+2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow3\ge ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow4\ge\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\)\(\Rightarrow\sqrt{ab}+1\le2\Rightarrow ab\le1\)

Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{3+\frac{1}{x^2}}}=\frac{a}{\sqrt{ab+a+b+a^2}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{a}{a+b}\right)\)

Tương tự:\(\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{b}{a+b}\right)\)

Cộng theo vế BĐT ta có:\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+1}+\frac{b}{a+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+1\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{2ab+a+b}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+1\right]\)\(\le\frac{1}{2}\left[\frac{ab+a+b+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+1\right]=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Bài 2 bạn tham khảo cách làm của cô Linh Chi tại đây nhé :

Câu hỏi của nguyen trung nghia - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Học tốt và cá tháng tư đừng để bị troll nha !!!!!!!!!!!

B1:

\(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Nhờ dự đoán được điểm rơi,ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)

Thật vậy !!!

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{x}-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-y}{2y}+\frac{y-2x}{x}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-xy+2y^2-4xy}{2xy}\le0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5xy+2y^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)\le0\) ( đúng )

Dấu "=" xảy ra tại \(x=1;y=2\)

Vậy \(M_{max}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=1;y=2\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{504}{xy}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1007}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1007}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1007}{2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}\)

\(\ge4+2014=2018\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂

Vậy \(P_{min}=2018\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x>y\\xy=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y>0\\xy=1\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}=\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=x-y+\dfrac{2xy}{x-y}=x-y+\dfrac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\left(\dfrac{2}{x-y}\right)}=2\sqrt{2}\Rightarrow MinP=2\sqrt{2}\)